第 2 章：关系模型¶
简单又优雅。
一个使用关系模型的数据库储存了一些关系；一个“关系”是包含行和列的表。
注意
关系 relation 指的是一张表，联系 relationship 指的是一些实体之间的关联。
基本结构¶
对于集合 \(D_1, D_2, \cdots\)，它们的关系 \(r\) 是它们笛卡尔积 \(D_1 \times D_2 \times \cdots\) 的一个子集。
属性 Attribute¶
每个属性都有其（值）域 domain。根据第一范式，属性的值需要是原子化的，也就是说不能是多个值组合起来。
| id | name | gender | species | tags |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 妙艾拉 | 女 | 魔幻假面喵 | 挚友、美食家、…… ←这样不行！ |
所有的域里面都包含 null 这个值。虽然 null 总会让数据处理变得复杂……
关系模式 Relation Schema¶
关系模式描述了一个关系的结构，比如：
Instructor-schema = (ID: string, name: string, dept_name: string, salary: int)
现在有属性 \(A_1, A_2, \cdots, A_n\)，那么 \(R = (A_1, A_2, \cdots, A_n)\) 称为一个关系模式；\(r(R)\) 是在关系模式 R 下的一个关系。
关系实例 Relation Instance¶
关系实例是某个时候关系里面的数据的快照。
如果现在有元组 t，那么 \(t[A]\) 代表元组 t 中名为 A 的属性的值。
关系的特性¶
- 无序
- 不重
码 Keys¶
为了让 K（\(K \subset R\)）成为关系模式 R 的超码（Superkey），它需要满足只用 K 里面的属性就可以唯一确定所有的元组。比如对于下面这个：
| id | name | gender | species |
|---|---|---|---|
| 1 | 妙艾拉 | 女 | 魔幻假面喵 |
| 624 | 蒙洛卡 | 男 | 魔幻假面喵 |
| 993 | 皎华 | 女 | 月亮伊布 |
让 \(K = \{\mathrm{id}\}\) 可以，\(K = \{\mathrm{name}\}\) 可以，\(K = \{\mathrm{gender}, \mathrm{species}\}\) 也可以；但是 \(K = \{\mathrm{gender}\}\) 和 \(K = \{\mathrm{species}\}\) 都不行。
而其中，候选码（Candidate Key）是所有超码里面极小的那几个，也就是候选码的真子集不能再组成超码。所以 \(K = \{\mathrm{gender}, \mathrm{species}\}\) 也是一个候选码。
主码（Primary Key）是用户选定的一个候选码，表示的时候要打一个下划线。比如我们可以让 \(K = \{\mathrm{id}\}\) 变成主码，因为名字还是太容易重复了：
Teammates(id, name, gender, species)，这样。
此时我们拿来宝可梦图鉴 Pokédex(species, ...)，那么属性 species 叫做 Teammates 引用 Pokédex 的一个外码。Teammates 是参照关系（referencing relation），Pokédex 是被参照关系（referenced relation）。参照关系中，外码的值必须在被参照关系中实际存在或为 null，所以你不能把什么祖利兽加进 Teammates 里面，因为他不是宝可梦。
六个基本操作¶
选择 \(\sigma_{p}(r)\)¶
设选择谓词 p 是一堆条件组成的约束，那么 \(\sigma_{p}(r) = \{t | t \in r \land p(t)\}\) 是 r 中满足 p 的元素。
比如 \(\sigma_{\mathrm{affection} \geq 255}(\mathrm{pokemon})\) 会返回所有友好度大于等于 255 的宝可梦。
投影 \(\Pi_{A_1 \cdots A_k}(r)\)¶
设 \(A_1 \cdots A_k\) 是属性的名字，那么 \(\Pi_{A_1 \cdots A_k}(r)\) 是从 r 中只选出属性 \(A_1 \cdots A_k\) 后组成的表。注意因为这是个集合，所以得去重。
并¶
\(r \cup s = \{t | t \in r \lor t \in s\}\)，其中 r 和 s 需要等目（属性的个数一样），并且相应的属性可以合并起来。
比如 \(\Pi_{\mathrm{name}}(\mathrm{trainer}) \cup \Pi_{\mathrm{name}}(\mathrm{pokemon})\) 会返回所有训练师和宝可梦的名字（在一张表上）。
差¶
\(r - s = \{t | t \in r \land t \notin s\}\)，和上面一样，其中 r 和 s 需要等目（属性的个数一样），并且相应的属性可以合并起来。
广义笛卡尔积¶
\(r \times s = \{\{t, q\} | t \in r \land q \in s\}\)，其中如果 r 和 s 里面有属性的名字相同，那么必须给个新名字以区分。
重命名 \(\rho_{x}(E); ~\rho_{x(A_1, \cdots, A_n)}(E)\)¶
现在有个有 n 个属性的关系 E，\(\rho_{x(A_1, \cdots, A_n)}(E)\) 会返回一个属性名字被改成 \(A_1, \cdots, A_n\) 的 E。
附加的操作¶
交¶
\(r \cap s = \{t | t \in r \land t \in s\} = r - (r - s)\)。
自然连接¶
\(r \bowtie s = \Pi_{r 和 s 下的所有属性种类}(\sigma_{r 和 s 下相同的属性名的值都相同}(r \times s))\)。
设 r 在模式 R 下，s 在模式 S 下，那么 \(r \bowtie s\) 是在模式 \(R \cup S\) 下的表。
除¶
\(r \div s = \{t | t \in \Pi_{R - S}(r) \land \forall_{u \in s} (tu \in r)\}\)；或者说，得出来的商来自于 \(\Pi_{R - S}(r)\)，里面的元组 t 和 s 里面任何元组的拼接结果都在 r 里面出现过。
赋值¶
符号是 \(\leftarrow\)。比如上面的除操作可以写成这样：
\(temp1 \leftarrow \Pi_{R-S}(r)\)
\(temp2 \leftarrow \Pi_{R-S}((temp1 \times s) - \Pi_{R-S, S}(r))\)（缺少了 s 的出现的元组）
\(result = temp1 - temp2\)
扩展的关系代数操作¶
广义投影¶
投影中包含数学表达式的投影。比如下面这个：
\(\Pi_{\mathrm{name, maxhp - hp}}(\mathrm{pokemon})\) 会返回所有宝可梦的名字和他们已经损失的 HP 量。
聚合函数和聚合操作¶
包括最大值、最小值、平均值等操作。
外连接¶
在自然连接的基础上，增加左外连接和右外连接，以及完全外连接。
遇到部分值冲突的时候，左外连接保留符号左边的表的数据，右外连接保留符号右边的表的数据。
这个时候完全外连接说“我全都要！”，那么只能在冲突元组的其他属性中的其中一个放上 null 了。
空值 null¶
对于 or：
- (unknown or true) = true
- (unknown or false) = unknown
- (unknown or unknown) = unknown
对于 and：
- (unknown and true) = unknown
- (unknown and false) = false
- (unknown and unknown) = unknown
对于 not：
- not unknown = unknown
数据库的修改操作¶
删除可以表达为 \(r \leftarrow r - E\)。
插入可以表达为 \(r \leftarrow r \cup E\)。
更新可以表达为 \(r \leftarrow \Pi_{F_1, F_2, \cdots, F_l} (r)\)，其中 \(F_i\) 对于哪些要更新的元组是相应的表达式。