第 12 章：隐写术

使用 LSB 技术

把图片的像素值表示成整数的形式。把 $2i$ 变成 $2i+1$ 表示编码了一个 1；把 $2i+1$ 变成 $2i$ 表示编码了一个 0。这样会导致像素值分布变得很“平整”：$2i$ 和 $2i+1$ 的数量会趋近。

DCT 图像压缩

DCT 将图像分成由不同频率组成的小块，然后进行量化。在量化过程中，舍弃高频分量，剩下的低频分量被保存下来用于后面的图像重建。

• 将图像分解为 $8\times 8$ 的图像块
• 将表示像素的 RGB 系统转换成 YUV （灰阶与色度）系统
• 然后从左至右，从上至下对每个图像块做 DCT 变换，也就是把每一个块表达为 64 个图案乘上不同系数的和；然后舍弃高频分量，保留 19 个低频分量
• 对余下的图像块进行量化压缩
• 解压缩时对每个图像块做DCT反转换（IDCT）

DCT 变换得到的 64 个系数中，第一个是 DC 系数，后 63 个是 AC 系数。“舍弃高频分量”这一步叫做 DCT 量化，是一种不可逆的有损压缩过程。使用一张量化表除以 DCT 系数的矩阵，量化后的比例系数中数值较大的被映射到非零的整数，数值较小的系数被映射到零。映射完的系数叫做 JPEG 系数。请看这里：链接。

量化系数 $X$ 的频率有这样的规律：$P(X=1)>P(X=2)>P(X=3)>\cdots$，并且 $P(X=1)-P(X=2)>P(X=2)-P(X=3)>P(X=3)-P(X=4)>\cdots$。

统计数据保存隐写术

现在拿一对 $(U,L)$ 出来做 LSB，其中 $U$ 比 $L$ 多。让它们各自拿出比例为 $q\in [0,1]$ 的量来隐写，结果是：

$U$ 方：有 $U\cdot (1-q)$ 不变，获得来自双方的 $(U+L)\cdot \frac{q}{2}$，最后变为 $U-(U-L)\cdot \frac{q}{2}$。

$L$ 方：有 $L\cdot (1-q)$ 不变，获得来自双方的 $(U+L)\cdot \frac{q}{2}$，最后变为 $L+(U-L)\cdot \frac{q}{2}$。

为了不让双方大小比例变得太奇怪，我们必须满足 $(U-L)\cdot \frac{q}{2}<L\cdot (1-q)$，也就是 $q<\frac{2L}{U+L}$。

基于模型的隐写术

说实话我不知道自己在写啥。

把载体看作是一个 8 位随机数，其中高 7 位和隐写无关，只有最低一位和隐写有关（可以修改）。设高 7 位是 $c_{inv}$，最低一位是 $c_{emb}$。基于模型的隐写术可以看作是一种条件概率的集合：$P(c_{emb}|c_{inv})$。用一个熵解码器将载体调整成满足 $P(c_{emb}|c_{inv})$ 的样子，把载体的（看作是）均匀分布的字节流解码成广义柯西分布的字节流，概率密度函数 $P(x)=\frac{p-1}{2s}|\frac{|x|}{s}+1{|}^{-p}$。

在 $(2i,2i+1)$ 的 $2i$ 的概率 $p_0=P(c_{emb}=0|c_{inv}=MS{B}_7(2i))=\frac{T_c[2i]}{T_c[2i]+T_c[2i+1]}=1-P(c_{emb}=1|c_{inv}=MS{B}_7(2i))$

在解读隐写信息的时候，就将广义柯西分布的字节流编码成均匀分布的字节流。

这种方法的效率是 2：每一位只有一半的几率改变，而可以表示一整位的编码信息。

信息熵 $H(p_0)=-p_0{\log }_2{p}_0-(1-p_0){\log }_2(1-p_0)$

位的改变 $=p_0(1-p_0)+(1-p_0)p_0=2p_0(1-p_0)$

效率 $=\frac{H(p_0)}{2p_0(1-p_0)}$

JSTEG

JSTEG 把信息用 LSB 编码到 JPEG 系数里面，它的问题是量化系数分布会有明显的特征。

F3

• 如果对应编码信息为 0，那么把 JPEG 值移到更靠近 0 的偶数（-3 到 -2， -2 到 -2，3 到 2）。
• 如果对应编码信息为 1，那么把 JPEG 值移到更靠近 0 的奇数（-3 到 -3， -2 到 -1，2 到 1）。
• 如果有人被移到了 0，那么不会消耗这一位要编码的信息。

其问题是，一般来说 $P(2i-1)>P(2i)$；但是如果数据足够险恶，可能会让编码后信息中 $P(2i-1)<P(2i)$。

F4

JPEG 值大于 0：

• 如果对应编码信息为 0，那么把 JPEG 值移到更靠近 0 的偶数。
• 如果对应编码信息为 1，那么把 JPEG 值移到更靠近 0 的奇数。
• 如果有人被移到了 0，那么不会消耗这一位要编码的信息。

JPEG 值小于 0 的时候，反过来：

• 如果对应编码信息为 0，那么把 JPEG 值移到更靠近 0 的奇数。
• 如果对应编码信息为 1，那么把 JPEG 值移到更靠近 0 的偶数。
• 如果有人被移到了 0，那么不会消耗这一位要编码的信息。

矩阵编码

现在想往三个灰度值 $x_1$、$x_2$ 和 $x_3$ 中编码两位信息 $b_1$ 和 $b_2$。隐写追求最少量的更改，我们可以最多更改 $x_1$、$x_2$ 和 $x_3$ 中的一个来编码 $b_1$ 和 $b_2$：

$b_1=LSB(x_1)\mathrm{xor}LSB(x_2)$，$b_2=LSB(x_2)\mathrm{xor}LSB(x_3)$。

如果 $b_1$ 不满足，那就修改 $x_1$；如果 $b_2$ 不满足，那就修改 $x_3$；如果都不满足，那就修改 $x_2$。这样子的话预期修改位的数量是 $\frac{3}{4}$，效率是 $2/\frac{3}{4}=\frac{8}{3}$。

海明码

• 把 $2^p$ 个信息编码到一个大小为 $2^{2^p-1}$ 的空间中。
• 对于一个 $2^{2^p-1}$ 位的数 $c$，构造矩阵 $H\in \{0,1{\}}^{p\times (2^p-1)}$ 提取出 $p$ 位信息：$m=Hc$。这样就把信息 $m$ 映射为了 $c$。

对于一个 $p$ 位信息，如果只纠错 1 位，

• 有 $1/2^p$ 的概率 $m=Hc$，也就是没有错。
• 有 $1-1/2^p$ 的概率 $m=H(c+e_i)$，其中向量 $e_i$ 里面只有一个 1，其他位置都是 0。

这样一来，改变的位数期望是 $1-1/2^p$，效率是 $p/(1-1/2^p)$。

编码效率的上限

在一张 n 个像素的载体中，编码集合为 $M$ 的信息，所需要改变的最少位数 $R$ 是多少？

在这里，效率即是 $\frac{{\log }_2|M|}{R}$，当它达到它的上界时说明来到了最佳状态。

当 $R$ 固定的时候，给 $n$ 个像素改变最多 $R$ 位的方法数为 $\sum _{i=0}^R(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})2^i$，于是我们有这个上限：${\log }_2|M|\le {\log }_2(\sum _{i=0}^R(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})2^i)$。

根据信息论的知识（我不知道），${\log }_2|M|\le {\log }_2(\sum _{i=0}^R(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})2^i)\le nH(R/n)$，其中二元熵函数 $H(x)=-x{\log }_{2}x-(1-x){\log }_2(1-x)$。

于是我们有相对消息长度 ${\alpha }_{max}=\frac{{\log }_2|M|}{n}\le H(R/n)$。效率 $e=\frac{{\log }_2|M|}{R}\le \frac{\alpha }{H^{-1}(\alpha )}$。

湿纸

只能更改一部分地方的载体叫做湿纸（Wet Paper），能被修改的地方叫做“干”的地方。现在有湿纸 $x$ 和信息 $m$，我们需要在只更改干的地方的情况下把信息改成 $y$ 以编码信息：$D_{m\times n}{y}_{n\times 1}=m_{m\times 1}$，$D$ 是加解密双方共享的矩阵。

设 $y=x+v$，也就是我们要让 $D(x+v)=m$，$Dv=m-Dx$。

规定矩阵 $P$ 有这样的效果：$Pv=(u_1,u_2,\cdots ,u_{|J|},0,0,\cdots ,0{)}^T=(u,0{)}^T$，即把湿的地方都放到后面。

$Dv=m-Dx=z$；$(D{P}^{-1})(Pv)=z$，$(HK)(u0{)}^T$，$H_{m\times |J|}u=z$。我们就解这个 $u$。