第 5 章：旁路信息与水印

知情嵌入

利用载体 \(\mathbf{c}_o\) 的信息提升精确度和强健性。有两个策略：保持精确度的情况下，拉高强健性；或者反过来。

E_FIXED_LC 相当于让 \(z_{lc}(\mathbf{v}, \mathbf{w})\) 达到一个固定值，也就是把载体投到一个和 \(\mathbf{w}\) 垂直的平面上。它不适合和 \(z_{nc}\) 一起工作（判断范围变成了一个圆锥）。

E_FIXED_CC 和 \(z_{cc}\) 一起工作：让载体和水印的角度在某个范围内。把 \(\mathbf{w}_r\) 作为 x 轴，\(\mathbf{X} = \frac{\mathbf{w}_r}{||\mathbf{w}_r||}\)；通过载体 \(\mathbf{v}_o\) 得到 y 轴：\(\mathbf{Y} = (\mathbf{v}_o - \mathbf{X} (\mathbf{v}_o \cdot \mathbf{X})) / ||\mathbf{v}_o - \mathbf{X} (\mathbf{v}_o \cdot \mathbf{X})||\)。

\(\mathbf{v}_o\) 的坐标 \(x_{\mathbf{v}_o} = \mathbf{v}_o \cdot X\)，\(y_{\mathbf{v}_o} = \mathbf{v}_o \cdot Y\)

检测区域上界 \(x(t) = t \cos (\theta_{nc}), \quad y(t) = t \sin (\theta_{nc})\)

离 \(\mathbf{v}_w\) 最近（为了保证精确度）的 \((x(t), y(t))\)：\(t = \cos(\theta_{nc}) x_{\mathbf{v}_o} + \sin(\theta_{nc}) {y_{\mathbf{v}_o}}\)

相当于把载体投到一个以原点为顶点的圆锥表面上，这个圆锥在检测区域里面。投影过去的那个点和检测区域的内切球越大，强健性就越高。

强健性评测

不让结果向量掉出检测区域（\(\tau_{nc}\)）的能嵌入最大的高斯噪声量。

\(z_{nc} (\mathbf{v}_w + \mathbf{n}) \approx (\mathbf{v}_w \cdot \mathbf{w}_r) / (\sqrt{\mathbf{v}_w \cdot \mathbf{v}_w + \mathbf{n} \cdot \mathbf{n}} || \mathbf{w}_r ||)\)

噪声量 \(R^2\) 导致 \(z_{nc} < \tau_{nc}\)：\(R^2 = ||\mathbf{n}||^2 \leq (\frac{\mathbf{v}_w \cdot \mathbf{w}_r}{\tau_{nc} ||\mathbf{w}_r||})^2 - ||\mathbf{v}_w||^2\)

给定的 \(R^2\) 会在检测区域圆锥里面形成一个曲面，\(R^2\) 越大离曲面越远。

使用旁路信息打水印

Costa 在 1983 年说：如果编码强度为 \(P\)，编码者已知的状态噪声 \(S \sim N(0, Q)\)，未知的信道噪声 \(Z \sim N(0, N)\)，传递给解码者的东西为 \(Y = X + S + Z\)，那么 \(R = \frac{1}{2} \ln (1 + \frac{P}{N})\)，和噪声 \(S\) 无关。

脏纸编码

每个消息给一组候选编码。

E_DIRTY_PAPER/D_DIRTY_PAPER

编码一位信息，编码 0 提供一组 \(W_0\)，编码 1 提供一组 \(W_1\)。\(W_0\) 和 \(W_1\) 里面的元素相当于空间里面的一堆圆锥。\(P_{fp} = (|W_0| + |W_1|) P_{fp0}\)。问题在于编解码的时候选哪个，这需要耗费大量时间。

最小位水印

把水印内容放进载体对应位置的最小的那些位上。

量化索引调制

在数轴上给各个信息 \(m \in \{0, 1, \dots, M - 1\}\) 分配点：\(C_m = \{(m + Mk) \Delta | k \in \mathbb{Z}\}\)，\(\Delta\) 越大它们之间相距越远。

或者放到二维上：\(C_0 = \{(x + y) \bmod 2 = 0\}\)