第 3 章：水印模型

信息交流

加性噪声：\(\mathbf{y} = \mathbf{x} + \mathbf{n}\)

衰落信道：\(\mathbf{y} = v[t] \mathbf{x} + \mathbf{n}, 0 \leq v[t] \leq 1\)

安全传输

• 被动攻击：对信息的攻击。监视传输通道，并试图非法读取消息。
• 主动攻击：掐掉信道，或传输虚假/未经授权的消息。

解决方式：

• 消息层面：在传输前后加密与解密。
• 传输层面：扩展频率通信。比如跳转频率（每隔一段时间换一次频率），可以让窃听者难以获得完整消息，并提升阻断消息的难度。

基于通信的水印模型

\(\mathbf{c}_{wn} = \mathbf{c}_o + \mathbf{w}_a + \mathbf{n}\)

E_BLIND

编码一位信息 \(m \in \{0, 1\}\)。

参考水印图案 \(\mathbf{w}_r\)

编码水印图案 \(\mathbf{w}_m = (2 m - 1) \mathbf{w}_r\)

添加的图案 \(\mathbf{w}_a = \alpha \mathbf{w}_m\)

编码 \(\mathbf{c}_w = \mathbf{c}_o + \mathbf{w}_a\)

D_LC

传输后掺了噪声 \(\mathbf{c} = \mathbf{c}_w + \mathbf{n}\)

线性相关的评判方法：\(z_{lc} (\mathbf{c}, \mathbf{w}_r) = \frac{1}{N} \mathbf{c} \cdot \mathbf{w}_r\)，\(N\) 是像素个数

限定水印方差 \(\sigma_{\mathbf{w}_r}^2 = || \mathbf{w}_r - \mu_{\mathbf{w}_r} ||^2 / N = 1\)

标记空间

加水印的过程可以理解成 \(\mathbf{c}_w = f(\mathbf{c}, \mathbf{w}(m))\)

设有这样的一个向量 \(\mathbf{v} = T(\mathbf{c})\)，把向量加上水印 \(\mathbf{v}_w = g(\mathbf{v}, \mathbf{w}(m))\)，某个信息加完水印就能理解成 \(\mathbf{c}_w = T^{-1}(\mathbf{v}_w, \mathbf{c})\)

识别水印的过程可以理解成 \(T(\mathbf{c}_w) = \mathbf{v}_w\)，\(m = Cor_g (\mathbf{v}_w, \mathbf{w}(m))\)

Z_CC、Z_NC

\(\tilde{\mathbf{v}} = \mathbf{v} - \mu_{\mathbf{v}} \mathbf{1} = \mathbf{v} - \bar{\mathbf{v}}\)，\(\tilde{\mathbf{v}}' = \tilde{\mathbf{v}} / || \tilde{\mathbf{v}} ||\)

\(z_{cc}(\mathbf{v}, \mathbf{w}_r) = \tilde{\mathbf{v}}' \cdot \tilde{\mathbf{w}_r}'\)

\(z_{nc}(\mathbf{v}, \mathbf{w}_r) = \mathbf{v}' \cdot \mathbf{w}_r'\)

实际上 \(z_{nc}(\mathbf{v}, \mathbf{w}_r) = \cos \langle \mathbf{v}, \mathbf{w}_r \rangle\)

降维操作

\(\tilde{\mathbf{v}} = \mathbf{v} - \bar{\mathbf{v}}\) 实际上给向量降了一维，因为：

\(\tilde{\mathbf{v}} = \mathbf{v} - \bar{\mathbf{v}} = \mathbf{v} - \mathbf{1}_{N \times 1} \mu_{\mathbf{v}} = \mathbf{v} - \mathbf{1}_{N \times 1} \frac{\mathbf{1}_{1 \times N} \mathbf{v}}{N} = (I - \frac{\mathbf{1}_{N \times N}}{N}) \mathbf{v}\)

矩阵 \(I - \frac{\mathbf{1}_{N \times N}}{N}\) 的秩是 \(N - 1\)。

等价

按标准差进行处理的方法：

\(z_{2} (\mathbf{v}, \mathbf{w}_r) = \frac{\sqrt{N}}{||\tilde{\mathbf{v}}||} \mathbf{v} \cdot \mathbf{w}_r\)